El juego de Penney: cómo tirar una moneda al aire y ganar (casi) siempre

En la vida, ir primero es normalmente mejor: puedes conseguir asiento en el metro, escoger la mejor butaca en el cine, estar cerca del escenario en un concierto… Hoy, sin embargo, vamos a descubrir un juego de azar en el que elegir el primero no es la mejor opción.

Se trata del juego de Penney, publicado por el matemático Walter Penney en el Journal of Recreational Mathematics allá por el año 1959. Un juego muy curioso en el que, si somos listos y elegimos bien nuestra jugada en función de la de nuestro adversario, podremos ganar casi siempre al tirar una moneda al aire.

El planteamiento del juego de Penney

Al igual que en otros juegos de nuestra serie de problemas matemáticos clásicos, el juego de Penney está basado en el lanzamiento sucesivo de una moneda (como en la paradoja de San Petesburgo). Y es que una moneda es el paradigma de la equiprobabilidad en el azar, pues si tiramos una al aire, la probabilidad de que salga cara (C) es la misma de que salga cruz (X).

El juego en cuestión está planteado de la siguiente manera: Dos jugadores escogen cada uno entre las ocho posibles combinaciones de lanzar una moneda al aire tres veces, que son las siguientes: CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC y XXX. Después se va tirando la moneda una y otra vez hasta que salga la combinación de uno de los dos jugadores, que será el ganador.

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Las diferentes combinaciones posibles al lanzar una moneda al aire tres veces

Así, por ejemplo, si el jugador 1 elige XCC y el jugador 2 CXC, y la sucesión de tiradas sale CXXCXC, habrá ganado el jugador 2, porque ha aparecido su combinación (en negrita) antes que la del jugador 1, que aún no ha aparecido.

A primera vista, parece indiferente qué combinación escojamos, pues todas tienen las mismas posibilidades de ocurrir (un 12,5%). Es igual de probable sacar tres caras seguidas (CCC) como sacar primero una cara, luego una cruz y luego otra cara (CXC). Sin embargo, el juego tiene truco.

El truco del juego de Penney para tener más probabilidades de ganar

Imaginemos  la siguiente jugada: mi adversario ha elegido la combinación XXX (tres cruces) y yo, que soy muy listo, la CXX (cara y después dos cruces). De esta manera, tengo un 87,5% de probabilidad de ganar, mientras que mi oponente solo un 12,5%. ¿Cómo es esto posible?

Muy sencillo, porque en el momento en el que salga una cara, ya no podrá ganar, pues necesitaría tres cruces seguidas, y a mi me bastan dos cruces después de que salga cara lograr mi combinación (CXX). Por ejemplo, yo ganaría con XXCXX, XCXX, CXCXX , CXX, CCCXX, XCCXX, CCXX … Su única opción es que las tres primeras tiradas sean cruz (XXX). Solo una combinación entre ocho posibles, un 12,5%.

Esta diferencia tan grande de probabilidades no se da con todas las combinaciones, pero igualmente podemos obtener una ventaja si escogemos adecuadamente. Hasta hay un truco para poder elegir correctamente la combinación más provechosa en función de la que ha seleccionado nuestro contrincante.

Esta es una tabla con las diferentes combinaciones de jugadas que pueden escoger el jugador 1 y el jugador 2, y las probabilidades de ganar que tiene el jugador 2 en función de la elegida por su oponente. Están resaltadas en rojo las más favorables para el jugador 2.

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El truco para elegir la combinación más ventajosa sabiendo lo que ha escogido el oponente es sencillo.  Para la primera posición, tomamos el opuesto a lo elegido por nuestro contrincante para la segunda posición. Y para la segunda y tercera posición, escogemos la primera y la segunda posición de nuestro adversario. Por ejemplo, si el rival a elegido CCX, nosotros deberemos optar por XCC, y así con todas.

Esta información también es útil si somos nosotros los que elegimos primero, debiendo seleccionar aquellas combinaciones que den menos ventaja a nuestro adversario o con las que, en caso de que desconozca el truco, tengamos más probabilidades de que elija una jugada que nos sea favorable. Ese es el caso de las combinaciones XCC y CXX, contra las que solo existe una jugada desfavorable (XXC y CCX respectivamente, en verde en la tabla con un 33%) mientras que el resto, o están igualadas u ofrecen ventaja.

¿Listos para enseñarles el truco a amigos y familiares y demostrarles que saber un poco de matemáticas y probabilidad nos puede ayudar en el día a día?

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