¿Es la lotería en realidad un impuesto para quienes no saben matemáticas?

La lotería de Navidad está a la vuelta de la esquina. Como cada año, el día 22 de diciembre se celebra el  tradicional sorteo en el que mayor cantidad de millones se ponen en juego y, como cada año, las imágenes de bares descorchando botellas de champán y de gente eufórica abrirán todos los telediarios. Pero no os preocupéis porque a no ser que el camarero nos guarde uno de los décimos premiados como en el anuncio de lotería de este año, no nos va a tocar.

Al menos eso es lo que dicen las matemáticas. El matemático estadounidense Roger Jones llegó a definir la lotería como un impuesto para las personas que no saben matemáticas. Lamentándolo mucho, parece que el bueno de Roger estaba en lo cierto porque teniendo en cuenta la probabilidad de que nos toque es prácticamente nula.

La esperanza es lo último y, además, se pierde

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El objetivo de comprar un décimo es ganar el Gordo. ¿Qué probabilidad hay de ganarlo? Si compramos un décimo jugamos contra otros 100.000 números, por lo que tendremos un 0,001% de probabilidad de ganar el Gordo, es decir, una probabilidad casi nula. Su cálculo del siguiente modo:

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Puestas así las cosas, y puesto que el Gordo es, quizá, un objetivo demasiado ambicioso, vamos a rebajar un poco nuestro objetivo.  Cada número está formado por 10 décimos, y hay 180 series de cada número, lo que hacen un total de 1.800 décimos por número. Dado que se entregan 15.304 premios entre el Gordo, el segundo, el tercero, los cuartos, los quintos, las aproximaciones, los reintegros y la pedrea habrá un total de 27.612.000 de décimos premiados (resultado de multiplicar 15.304 por 1.800). Teniendo en cuenta que, en total, se venden 180 millones de décimos (100.000 billetes x 180 series x 10 décimos por serie), la probabilidad de ganar será de:

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Es decir, un 15,34%. Esto está mejor ¿no? Ya hablamos de una probabilidad como para pensarse de verdad si comprar un décimo o no. Como la esperanza es lo último que se pierde, utilizaremos la esperanza matemática para saber cuánto dinero recuperaremos por euro invertido. Su cálculo es bastante más complejo, por lo que no vamos a entrar en él. En cualquier caso, la esperanza matemática de la Lotería de Navidad es de 0,7; es decir, por cada euro invertido, esperaremos recuperar 70 céntimos, o dicho de otro modo, perder el 30% de lo apostado.

¿Por qué hay más probabilidad que toque en algunas Administraciones de Lotería?

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Existe un pubelo en Lérida llamada Sort, que se traduce como suerte en catalán. Su nombre le hace honor, puesto que casi todos los 22 de diciembre llegan noticias de esta localidad, y más concretamente, de su Administración de Lotería más famosa, La Bruixa D´Or, de que ha caído uno de los principales premios. Sin embargo, atendiendo a las matemáticas, la probabilidad de que toque cualquier premio en dos años consecutivos es casi nula, del 2,3% (resultado de multiplicar 15,34% por 15,34%).

En realidad, tampoco es tan extraño que el décimo toque siempre allí. El secreto de esta Administración es, ni más ni menos, vender más décimos que el resto, con la excepción de las más famosas, como la de Doña Manolita en Madrid. Por ejemplo, La Bruixa D´Or vende el 10% de los décimos que entran en el sorteo y, por tanto, tiene un 10% de probabilidades de que salga el Gordo y en torno al 30% de que salga algún premio importante. Si una Administración de Lotería vendiese la mitad de los décimos que entran en el sorteo, habría un 87% de probabilidad de tener algún décimo premiado entre los tres primeros.

Esta es la razón fundamental por la que ciertas Administraciones tienen mayor probabilidad. Sin embargo, en contra de las supersticiones y de la creencia extendida, esto no quiere decir que vayamos a tener más probabilidad de cobrar si compramos el décimo en alguna de estas Administraciones de Lotería. La probabilidad será la misma con independencia del lugar en que lo hayamos comprado y, en todo caso, solo aumentará si compramos más lotería (aunque bien es cierto que también habremos invertido más dinero).

Tampoco es cierta la creencia de que comprando un billete cuyos números representen alguna fecha en particular o en otro lugar de la geografía española vayamos a tener más posibilidades. No nos engañemos: la probabilidad de que esté premiado un décimo es la misma habiéndola comprado en nuestro pueblo, en Madrid o en el sitio más recóndito; además, la fecha en la que nuestro equipo gana la Champions no es una fecha señalada para el Gordo.

¿Qué haría un inversor con la lotería?

La lotería tiene un parecido importante con las opciones financieras, que no son más que productos financieros que, en función de la evolución del activo al que hacen referencia (normalmente acciones de compañías), dan el derecho pero no la obligación de comprar el activo en la fecha de vencimiento establecida en el contrato a cambio del pago de una prima.

La lotería es, por tanto, una opción con una prima de 20 euros que dan el derecho de comprar el activo, que en este caso consistiría en la recepción del importe del Gordo (o de cualquier otro premio) el día 22 de diciembre (fecha de vencimiento). El inversor ejecuta su derecho si recibe el premio y no lo ejercita (y, por tanto, se queda con el décimo o lo tira a la basura) en caso contrario.

Un inversor también realizaría un cálculo de probabilidades sobre su instrumento financiero, es decir, sobre su opción y llegaría a la conclusión de que la mayor parte de las veces estaría perdiendo el importe de la prima (20 euros), por lo que buscaría otro activo en el que colocar sus ahorros o lo mantendría en dinero líquido.

Conclusiones

Pese a todo, la lotería de Navidad sigue siendo uno de los juegos más rentables en cuanto a probabilidad, incluyendo no solo resto de Loterías a las que jugamos durante el año, como la Quiniela, la Primitiva o el Euromillones, sino también las apuestas deportivas y determinados juegos de azar.

Aún así, no existe ninguna razón matemática que justifique la compra del décimo de lotería de Navidad. Puede que lo compremos por tradición o por la ilusión que nos genera pero, como bien decía Roger Jones, la lotería de Navidad es un impuesto para aquellos que no saben de matemáticas. Amén.

Imagen | jacinta lluch valero, MontaPlexdaniel julià lundgren

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