¿Es mejor jugar a la Lotería de Navidad o a Euromillones? La esperanza matemática tiene la respuesta

Según se va acercando el 22 de diciembre, la lotería de Navidad nos rodea: anuncios conmovedores, noticias curiosas en los telediarios, primos y sobrinos que nos venden participaciones para sus viajes de fin de curso, décimos compartidos con los amigos, en la empresa…

Ya hemos hablado en más de una ocasión que la lotería es el impuesto para quienes no saben matemáticas, pero por mucho que la probabilidad deje claro que jugar a la lotería no es rentable, todos lo hacemos alguna vez. Si hasta Miguel Ángel Morales, responsable de Gaussianos, uno de los blogs sobre matemáticas más famosos, reconoce que juega a la lotería aunque matemáticamente no debería.

Ahora bien, ya que vamos apostar: ¿es mejor jugar a la lotería de Navidad, a la Primitiva o a Euromillones? La esperanza matemática tiene la respuesta.

¿Qué lotería reparte más dinero en premios?

La esperanza matemática es un concepto que puede parecer complejo, pero que en el caso de la lotería es extremadamente sencillo de calcular. Básicamente hace referencia a la cantidad que esperamos ganar por cada euro invertido. Por ejemplo, si la esperanza matemática es uno, se dice que es un juego justo (como cuando lanzamos una moneda al aire), porque a la larga se ganará el mismo dinero que se perderá.

En la lotería, la esperanza matemática está directamente ligada al porcentaje del dinero recaudado que se reparte en premios. Como se puede ver en el gráfico, este porcentaje varía desde el 49,5 por ciento del El Cuponazo hasta el 70 por ciento de la lotería de Navidad.

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Visto así, la lotería de Navidad es clara vencedora. Además, no es solo la lotería con mejor esperanza matemática, sino que también es de las que más probabilidades tiene de que nos toque algo (aunque sea la pedrea o el reintegro) y, con diferencia, con la que menos complicado está que nos llevemos “el gordo”, una entre 100.000.

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Eso sí, no todo son bondades para la lotería de Navidad. En contra, es la que menor premio ofrece (400.000 euros por décimo) y cuya participación es más cara (20 euros), lo que hace que la relación entre el premio que podemos obtener, la probabilidad de que nos toque y lo que cuesta jugar, sea similar a la de otras loterías.

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Los botes, desequilibrando la esperanza matemática

Hasta ahora hemos comparado todas las loterías sin tener en cuenta un factor que lo cambia todo: los botes acumulados. Por ejemplo, en un sorteo normal del Gordo de la Primitiva se recaudan unos 5 millones de euros, de los cuales el 55 por ciento va destinado a premios (2,75 millones, aunque hay un bote mínimo). En ese caso, como hemos comentado, la esperanza matemática es 0,55, lo cual no es muy interesante.

Sin embargo, cuando el bote acumulado supera cierta cantidad, la cosa cambia. Concretamente, cuando la suma del bote más el dinero destinado a premios supera lo que vale apostar a todas las combinaciones. En el caso del Gordo de la Primitiva, casi 32 millones a un 1,50 euros cada una (48 millones de euros), en el de Euromillones, 116 millones a 2 euros (232 millones de euros), en la primitiva, 140 millones a 2 euros (280 millones).

Por ejemplo, el bote máximo permitido en Euromillones es de 190 millones de euros (se alcanzó en 2012). Hipotéticamente, si alguien con mucho patrimonio decidiera apostar a todos los números (232 millones de euros), y siempre que él fuera el único jugador, se llevaría esos 190 millones más el 50% de lo apostado (116 millones, ya que según normativa lo que excede del bote se reparte entre los premios de menores categorías). En total, 306 millones. Para ese caso concreto, la esperanza matemática sería de 1,32, ya que se obtendrían una rentabilidad del 32% por cada uno invertido.

¿Quiere esto decir que cuando hay bote muy grande es mejor a Euromillones que a la lotería de Navidad? Sí, y no. Porque aunque, como acabamos de ver, globalmente la esperanza matemática mejora (se va a repartir en premios más de lo recaudado), no tiene una distribución homogénea: el resto de premios siguen siendo los mismos, y aunque el gordo es más gordo, la probabilidad de que nos toque sigue siendo más que remota.

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Imagen | Álvaro Ibáñez

 

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