Problemas matemáticos clásicos: el alumno que siempre elegía el último y le daba igual

María era una profesora de matemáticas que se esforzaba mucho para que sus alumnos de secundaria se interesaran por su asignatura. Cuando les planteaba un problema complicado, solía ofrecer una recompensa a los que lo completaran correctamente, como un chicle o algo por el estilo.

Un día, María preparó un problema realmente complicado, y se trajo como premio el último número de un cómic que sabía que les gustaba a sus alumnos. Para su sorpresa, fueron muchos los que lo consiguieron descifrar con éxito, 10 en total, así que debía buscar una manera de sortear el premio. Ahí comienza esta nueva entrega de nuestros problemas matemáticos clásicos, el del alumno que siempre elegía el último y le daba igual.

Para llevar a cabo el sorteo, María introdujo 10 papeles en un bote. En uno de ellos venía la palabra “premio”, y les pidió que fueran sacando un papelito por orden de lista, hasta que alguien cogiera el papel con el premio.

Ante esa propuesta, Manuel Z., que por su apellido iba a escoger último, se mostró bastante molesto, porque consideraba que iba tener menos posibilidades que los demás. Toda la clase empezó a discutir el asunto, hasta que Isabel A., que gracias a su apellido iba a escoger la primera, le dijo a Manuel que no le importaba ser la última.

Todo el mundo se calló de repente, pensando qué motivos habían llevado a Isabel a renunciar a su aparentemente privilegiada primera posición, pero más estupefactos se quedaron cuando la profesora se levantó, le dio el cómic a Isabel, le felicitó y le dijo que tendría un punto extra en su nota final. ¿Sabéis por qué?

¿Por qué a Isabel no le importaba ser la última en elegir?

La profesora no le regaló el cómic y le subió la nota a Isabel por ser una buena compañera y cederle el puesto a Manuel, sino por demostrar una visión amplia de las matemáticas y abordar el problema de forma sencilla y desapasionada.

A primera vista, puede parecer que ser el primero en sacar el papelito nos hace jugar con ventaja, que tenemos más probabilidad de ganar que el que escoge el último, que “solo” podría llevarse el cómic si todos los demás “fallan”. Sin embargo, la realidad es que todos tienen la misma probabilidad.

Al igual que ocurriera con otro de nuestros problemas matemáticos, el de la abuelita despistada que se sentaba donde quería en el avión, la mejor manera de explicarlo es simplificando el problema al máximo. Si en vez de 10 alumnos solo hubiese habido dos, es fácil ver que las probabilidades que tendría el primero de acertar serían las mismas que el segundo, el 50%. O el primero coge el papel bueno y gana, o coge el malo e inevitablemente gana el segundo.’

También podemos calcularlo con tres o cuatro alumnos, pero el resultado sigue siendo el mismo: todos tienen iguales oportunidades de ganar.

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Una manera de entenderlo, sin necesidad de dibujar árboles de probabilidades ni hacer cálculos de ningún tipo, es pensar que, en vez de poner el premio en un papelito, la profesora escribiera un número del 1 al 10 en cada papelito. Luego los repartiría (o cada alumno cogería uno del bote, da lo mismo), y después elegiría un número al azar (como si fuera la lotería) para determinar al ganador.

Así, si lo vemos como un sorteo, queda muy claro que todos tienen la misma probabilidad de ganar, independientemente de si fueron los primeros en coger el número o los últimos.

Otra cosa diferente sería si al coger del bote un papelito sin el premio del cómic, el alumno lo volviera a meter en el bote, ahí sí que tendría ventaja el primero sobre el resto.

Si hacemos los cálculos, la probabilidad del primero sería del 10% (lógico, uno entre 10 papelitos), pero la del resto iría menguando (el segundo un 9%, el tercero un 8,1%, la del cuarto un 7,3%…) ya que su suerte está condicionada a que los anteriores no acierten.

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Incluso podría darse el curioso caso, aunque altamente improbable, de que nadie acertara nunca jamás, y los alumnos envejecieran sacando papelitos de ese bote eternamente, ya que la probabilidad va menguando exponencialmente hasta el infinito.

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