Problemas matemáticos clásicos: la abuelita que se sienta donde quiere en el avión

El mes pasado iniciamos una serie de problemas matemáticos clásicos con el conocido problema del euro descuadrado al pedir la cuenta en el bar, que más que un problema es más bien un truco de magia matemático que engaña a nuestra mente.

Hoy, sin embargo, vamos a descubrir cómo podemos convertir un cálculo aparentemente complejo en otro mucho más sencillo de abordar, y para ello vamos a usar el clásico problema de la abuelita que se sienta donde quiere en el avión.

El planteamiento

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El planteamiento de este problema es bien sencillo. Un grupo de 100 pasajeros está listo para embarcar en el avión rumbo a sus vacaciones. Todos tienen asientos numerados, pero resulta que la primera persona en embarcar es una abuelita un poco despistada que no se ha percatado de que tiene un asiento asignado, y se sienta donde buenamente le apetece.

El resto de pasajeros van embarcando y sentándose en el asiento que marca su billete, salvo que encuentren su asiento ocupado, en cuyo caso, por no molestar, se sentarán en cualquier otro asiento de forma aleatoria.

Sabiendo esto, ¿qué posibilidades tiene Pepe, el último pasajero en embarcar, de sentarse en el asiento que le corresponde?

La solución al problema de la abuelita que se sienta donde quiere en el avión

Lo habitual al intentar abordar un problema de probabilidades como el planteado, es que nuestra mente se maree con tantas posibilidades, porque primero está la abuelita, que puede escoger entre los 100 asientos disponibles, incluido el del último pasajero, y luego están los otros 98 pasajeros, que como se encuentren su asiento ocupado, podrían sentarse en el de Pepe, que acabará lamentando haberse puesto el último en la fila de embarque.

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Tal vez estéis pensando ahora que con su despiste la abuelita prácticamente ha condenado al último pasajero a no sentarse en su asiento, que hay muy pocas probabilidades de que eso ocurra y que al pobre le va a tocar el peor sitio del avión. Pero la realidad es que a pesar de ser el último en entrar, Pepe tiene un 50% de posibilidades de lograr el asiento que indica su billete.

Es una solución muy clara a la que, sin embargo, es muy complicado llegar si abordamos el cálculo en toda su complejidad (es decir, con los 100 pasajeros) en vez de buscar una manera más sencilla de enfrentarnos al problema.

Para empezar, reduzcámoslo al mínimo. Un avión con solo dos plazas y dos pasajeros: nuestro ya querido Pepe y la entrañable abuelita despistada. Al entrar, aunque se siente al azar en cualquiera de los dos sitios disponibles, la abuelita acabará en su asiento la mitad de las veces, dejando a Pepe el suyo. La otra mitad de las veces, Pepe se sentará en el lugar en el que debía viajar la abuelita.

Así, desde luego, es mucho más fácil hacer los cálculos y acercarnos a la solución, pero es verdad que sin saber que efectivamente esa es la solución, es posible pensar que ese resultado no valdría para 100 pasajeros. Pero veamos que ocurre con tres pasajeros: la abuelita con el asiento A, un pasajero con el asiento B y Pepe con el asiento C.

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En este caso, la abuelita tiene tres asientos disponibles al entrar, así que la probabilidad de que se siente en el suyo al azar es de una entre tres (1/3). Por otro lado, si se sienta en el de Pepe, ya se ha fastidiado el asunto, pero si se sienta en el asiento B, el del pasajero anónimo, luego pueden ocurrir dos cosas más: que este se siente en el de la abuelita o en el de Pepe, en ambos casos con probabilidad del 50%.

Así, la probabilidad que tiene Pepe de acabar en su ansiado sitio es la suma de la probabilidad de que la abuelita se siente en el que le corresponde (1/3, o un 33,3%) más la probabilidad de que el pasajero anónimo se siente en el de la abuelita, que es de un 1/6* (un 16,6%). Como vemos, el resultado final es de nuevo del 50% y lo mismo ocurre si hacemos el cálculo con cuatro personas: aunque se complica un poco más, el resultado es idéntico.

* La probabilidad de que el pasajero anónimo acabe en el asiento de la abuelita es la probabilidad de que la abuela se siente en el asiento B (1/3) multiplicada por la probabilidad de que después el pasajero anónimo se siente en el asiento A de la abuelita (1/2). 

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La importancia de afrontar cálculos complejos de manera sencilla

Del clásico problema de la abuela que se sienta donde quiere en el avión podemos sacar una valiosa lección: la importancia de afrontar cálculos complejos de manera sencilla. No solo en casos de probabilidad, sino en cualquier cálculo al que nos enfrentemos en la vida diaria, como por ejemplo, el cálculo de descuentos en las rebajas.

Calcular un descuento del 25% de cabeza como lo haríamos con una calculadora es complicado (multiplicando por 25 y dividiendo por 100 o multiplicando por 0,25), pero en cambio si pensamos que 25 es la cuarta parte de 100, y que entonces basta con dividir el importe entre 4 para conocer el descuento, la cosa es mucho más fácil.

No hay que dejarse abrumar por la complejidad de un cálculo, y en vez de obcecarnos o desistir, lo mejor es tratar de buscar la manera más sencilla de abordar el problema: os sorprendería la de veces que existe esa manera original y mucho más fácil de llegar a la solución.

Imágenes | Phillip Capper y Ben Salter
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