Problemas matemáticos clásicos: la apuesta con moneda “trucada”

A lo largo de nuestra serie de problemas matemáticos clásicos, hemos ido descubriendo que muchas veces las apariencias engañan y que lo que a primera vista parece un cálculo lógico, puede esconder una pequeña trampa para nuestro cerebro o una artimaña aritmética.

Hoy vamos a mostraros una apuesta con moneda “trucada”. Se trata de una apuesta que parece justa, en la que se tienen las mismas posibilidades de ganar que de perder, pero que tras un pequeño cálculo descubrimos que no es tan equitativa como parece. O tal vez sí.

Apostando siempre la mitad de nuestro capital

Pablo y Manolo son dos amigos a los que le gustan las apuestas, se juegan el aperitivo a ver quien encesta una bola de papel en la papelera y cosas por el estilo. Un día, Pablo, que es muy avispado, le propone a Manolo que se apueste los 10 euros de la comida a cara o cruz con una moneda, aunque con un matiz.

En vez de apostar los 10 euros de golpe, Manolo debe apostar siempre la mitad del dinero que tenga, a lo largo de cuatro tiradas. Así, por ejemplo, al empezar tiene que apostar 5 euros (la mitad de los 10 que tiene). Si gana tendrá 15, si pierde le quedarán los otros 5. Si después de ganar, pierde, pasará a tener 7,50 (apostó la mitad de 15), mientras que si después de perder, gana, volverá a tener 7,50 (apostó la mitad de 5).

Aquí ya empezamos a intuir el pequeño truco con el que Pablo está jugando, pues después de dos tiradas, una para cada uno, Manolo tiene menos dinero que con el que empezó. Sin embargo, veamos exactamente cuál es la diferencia y si realmente Pablo ha obtenido una ventaja.

Los resultados de la apuesta y un giro en el argumento

Básicamente, cada vez que Manolo gana una tirada, multiplica su capital por 1,5, mientras que cuando pierde, se divide por la mitad. Por otro lado, como hemos visto, el orden en el que Manolo gane o pierda las tiradas es indiferente. La pregunta interesante es, ¿cuántas tiradas de las cuatro debe ganar Manolo para sacar beneficios?

Resultado Apuesta Capital Final Beneficios/Pérdidas Rentabilidad Probabilidad
4-0 50,63 € 40,63 € 406% 6%
3-1 16,88 € 6,88 € 69% 25%
2-2 5,63 € -4,38 € -44% 38%
1-3 1,88 € -8,13 € -81% 25%
0-4 0,63 € -9,38 € -94% 6%

A la vista de estos resultados, parece que Pablo tiene todas las de ganar, porque Manolo solo puede obtener beneficios venciendo en al menos tres de las cuatro tiradas. Sin embargo, y haciendo una doble pirueta mental con tirabuzón, esta apuesta es lo que se conoce como “un juego justo”, en el que la esperanza matemática es cero. Es decir, que si jugaran infinitas veces, al final Manolo y Pablo seguirían con el mismo dinero con el que empezaron.

Esto se debe a que, cuando gana, Manolo tiene más beneficios que las pérdidas que sufre cuando pierde, lo que compensa el hecho de que tenga más probabilidades de perder. Así, por ejemplo, aunque Manolo solo ganaría algo en 5 de cada 16 apuestas, obtendría 68 euros, los mismos que suma Pablo las 11 veces que su amigo pierde.

Resultado Apuesta Beneficios/Pérdidas Nº de combinaciones Ganancia / Pérdida total media
4-0 40,63 € 1 40,63 €
3-1 6,88 € 4 28,50 €
2-2 -4,38 € 6 – 26,25 €
1-3 -8,13 € 4 – 32,50 €
0-4 -9,38 € 1 – 9,38 €
Total 0,00 €

Como veis, las cosas pueden no ser lo que parecen dos veces, hasta volver a ser lo que parecían al principio. Lo mismo ocurre con las inversiones. Si una inversión sube un 10% un año y baja un 10% al siguiente (o al revés), tendremos menos dinero que el invertido (99 euros si el capital inicial era 100), lo mismo que ocurría en la apuesta de Pablo y Manolo.

Eso puede parecer “injusto” y algo que debamos tener en cuenta al comparar la evolución de un fondo con valores porcentuales, pero hay que tener en cuenta que si encadenamos dos años consecutivos de ganancias al 10% con la misma inversión de 100 euros, los beneficios totales (21 euros) serán mayores que las hipotéticas pérdidas de dos años seguidos de bajada (19 euros).

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