Problemas matemáticos clásicos: la herencia del tío rico

Si algo hemos aprendido a lo largo de nuestra serie de problemas matemáticos clásicos es que saber manejar números con soltura nos puede ayudar en muchas situaciones. Por ejemplo, a ir de rebajas o a elegir mejor la lotería a la que jugar, o incluso a cosas tan extrañas como a sentarnos bien en el avión o conseguir ganar al Monopoly.

En el problema matemático clásico de hoy vamos a conseguir que la herencia de nuestro tío rico sea solo para nosotros. Al menos en el hipotético caso de que tengamos un tío excéntrico y millonario que haya escondido su fortuna en una caja fuerte, cuya combinación podremos obtener si resolvemos correctamente el acertijo que plantea en su testamento.

El acertijo de las 100 taquillas

Durante los últimos años de su vida, nuestro tío se había aficionado mucho a los acertijos. Siempre que íbamos a visitarlo, nos proponía alguno. El resto de familiares, 100 en total si nos contamos, no le hacían mucho caso, preocupados en discutir qué parte de la herencia les correspondía. Pero nosotros siempre intentábamos buscar la solución y aprender cuando no la encontrábamos.

Es por eso que, en su último testamento, nuestro tío buscó la manera de conseguir dejarnos toda su fortuna a nosotros, pero sin que el resto de la familia se ofendiera. Esta fue su última voluntad:

“He creado un puzzle. Si los resolvéis todos juntos, os repartiréis la herencia a partes iguales. Pero si uno de vosotros consigue adivinar la respuesta y resolver el problema antes que nadie, la herencia será toda suya.”

Acto seguido, el abogado nos conduce a una gran sala con 100 taquillas cerradas y numeradas, en el interior de cada cual hay un sobre con una palabra, y nos plantea el siguiente problema:

“Cada uno de vosotros tiene asignado un número del 1 al 100. Por orden, deberéis ir a todas las taquillas que sean múltiplo del número que se os ha adjudicado, y abrirla si está cerrada, o cerrarla si está abierta. Con las palabras de las taquillas que queden abiertas podréis averiguar la combinación de la caja fuerte.”

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Así, por ejemplo:

  • El heredero nº1 deberá abrir las 100 taquillas (todos los números son múltiplo de 1)
  • El heredero nº2 deberá cerrar las taquillas 2,4,6,8,10…  (porque el número 1 las había abierto)
  • El heredero nº3 deberá abrir (o cerrar) las taquillas 3,6,9,12,15…
  • El heredero nº4 deberá revisar las taquillas 4,8,12,16…
  • El heredero nº5 deberá revisar las taquillas 5,10,15,20,25…
  • El heredero nº99 deberá revisar la taquilla 99
  • El heredero nº100 deberá revisar la taquilla 100

¿Cómo podemos saber qué taquillas estarán abiertas al final sin tener que hacer todo el proceso, y así llevarnos la herencia para nosotros solos?

La solución siempre pasa por simplificar el problema

La mayoría de estos problemas se pueden solucionar casi siempre reduciendo el problema a una muestra menor. Por ejemplo, 10.

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De esta manera, vemos rápidamente que se quedan abiertas las puertas 1, 4 y 9. ¿Qué tienen en común estos tres números? Fácil, que son cuadrados perfectos. (1×1, 2×2 y 3×3)… así que el resto de taquillas abiertas hasta llegar a 100 serían: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.

No obstante, hay una forma más elegante de llegar a esta conclusión, aunque requiere un poco más de conocimientos matemáticos. Debemos darnos cuenta que el número de veces que una taquilla es revisada es el mismo que los factores de su número (es decir, los números por los que es divisible).

Por ejemplo, la taquilla nº4. Sus factores son 1, 2 y 4. El heredero 1 la abre, el 2 la cierra y el 4 la abre. Y ya nadie más la toca. En cambio, si miramos la nº6, sus factores son 1, 2, 3 y 6. El heredero 1 la abre, el 2 la cierra, el 3 la abre y el 6 la cierra. Y así con todos los números.

Sabemos que para que una taquilla esté abierta, al final tiene que haber sido “revisada” un número impar de veces. Por ejemplo, la número uno, que solo la abre el heredero nº1, o la número nº4 que acabamos de ver. Eso solo se consigue con un número impar de factores, algo que solo tienen los cuadrados perfectos, ya que uno de sus factores se “repite”.

La combinación de la caja fuerte

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Una vez hemos adivinado qué taquillas se quedan abiertas al final, ya solo queda averiguar la combinación y abrir la caja fuerte, pero nuestro tío nos ha guardado una sorpresa para el final, ya que juntando las palabras que había en cada taquilla, nos encontramos esto:

“Combinación: las primeras cinco taquillas tocadas solo dos veces”

Este problema tiene una solución más sencilla, pues los números con solo dos factores (y que por lo tanto las taquillas solo se tocan dos veces) son los números primos, que solo son divisibles por ellos mismos y por el uno. Los cinco primeros números primos son el 2, 3, 5, 7 y 11.

¡Et Voilà! ¡Ya somos ricos!

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