Problemas matemáticos clásicos: la paradoja de San Petersburgo

De un tiempo a esta parte, le hemos cogido gusto a los problemas matemáticos clásicos, y en especial a los juegos de monedas. Hoy os vamos a presentar la paradoja de San Petersburgo, un sencillo juego que lleva poniendo en jaque a matemáticos y economistas desde que Nicolaus Bernoille se lo planteara a Pierre Montmort en 1913, aunque finalmente fue su sobrino Daniel Bernoulli quien lograra proponer una primera solución.

¿Te atreves a enfrentarte a esta paradoja matemática?

La Paradoja de San Petesburgo

La paradoja de San Petersburgo, que recibe este nombre porque Daniel Bernoulli residía en la ciudad rusa cuando formuló el primer intento de solución, se basa en un juego de monedas con un planteamiento tan sencillo como engañoso.

Se trata de lanzar una moneda al aire de forma sucesiva hasta que salga cruz por primera vez, quedando el premio para el jugador condicionado al número de veces que se ha lanzado la moneda, empezando por 2 y duplicando el premio en cada tirada. Si sale cruz en la primera tirada, el premio sería de 21=2, si saliera en la segunda, 22=4, si fuera la tercera 23=8 y así sucesivamente, de manera que en n tiradas el premio sería 2n.

¿Cuántas monedas estarías dispuesto a apostar?
¿Cuántas monedas estarías dispuesto a apostar?

La pregunta que planteaba Nicolaus era aparentemente fácil: ¿cuánto debería estar dispuesto a pagar por jugar? ¿4, 8, 20 euros, quizás 1.238? Normalmente, para contestar a esta pregunta se recurre a lo que se conoce como esperanza matemática, es decir, qué cantidad de dinero se espera ganar de media teniendo en cuenta los premios y la probabilidad de que ocurran.

Por ejemplo, si apostamos un euro a un número de la ruleta y ganamos, el premio es de 35 euros (más el euro apostado), lo cual es bastante. Pero hay que tener en cuenta que eso solo ocurre una de cada 37 veces (hay 36 números y el cero), por lo que la ganancia media esperada es de 0,97 euros [Em=36x(1/37)]. Eso significa que, si apostamos mucho, a la larga acabaremos perdiendo 3 de cada 100 euros que invirtamos, o lo que es lo mismo, la banca siempre gana.

Otra manera de verlo es si, por ejemplo, te digo que tiremos una moneda al aire y, si sale cara, te doy 8 euros. ¿Cuánto estarías dispuesto a pagar sabiendo que la probabilidad es de 1/2, es decir, del 50%? La respuesta es fácil: 4 euros.

Em = 8 · 1/2 = 4 euros

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En el caso de la paradoja de San Petesburgo, la esperanza matemática sería la siguiente:

Em= 2 · 1/2 + 4 · 1/22 + 8 · 1/23… = 2/2 + 4/4 + 8/8… = 1 + 1 + 1… = ∞

Aplicando la fórmula de la esperanza matemática, observamos que da infinito, es decir, que sería “lógico” que estuviéramos dispuestos a pagar cualquier cantidad de dinero por jugar, porque a fin de cuentas invirtamos lo que invirtamos, podemos ganar mucho más, concretamente infinito.

La solución a la paradoja de San Petesburgo

En realidad, como toda buena paradoja, la de San Petesburgo no tiene un solución como tal, sino aproximaciones que explican por qué aunque en teoría deberíamos querer invertir cualquier cantidad, de hecho nadie está dispuesto a apostar sumas importantes de dinero.

Esto se debe a un concepto clave en las matemáticas económicas, el de la utilidad del dinero, tal como explicara Daniel Bernoulli en un artículo publicado en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1938:

Cualquier incremento en riqueza, no importa cuan insignificante, siempre resultará en un incremento en utilidad que es inversamente proporcional a la cantidad de bienes ya poseídos. Los matemáticos, en su teoría, valoran el dinero en proporción a la cantidad del mismo; la gente con sentido común, en la práctica, lo valora en proporción a la utilidad que puede obtener de él.

Lo que quería decir Bernoulli es que no es lo mismo ganar 100 cuando se tienen 10 que cuando ya se tienen 1.000, y que a partir de cierto número de tiradas, la utilidad marginal de los premios se acerca a cero. A efectos prácticos, es lo mismo ganar mil billones que dos mil, pero valoramos mucho el dinero que apostamos, y nuestro sistema de aversión al riesgo nos hace reacios a invertir grandes cantidades en apuestas poco probables, aunque las ganancias sean infinitas como en este caso.

Un análisis interesante de esta paradoja es el realizado por Luis Cañas El falso dilema del prisionero. Una visión más amplia de las decisiones racionales (Alianza Editorial, Madrid, 2008) y que consiste en limitar el número máximo de tiradas para que salga cruz, y calcular así la esperanza matemática en cada caso:

Límite de tiradas Esperanza Matemática
(premio medio)
Premio máximo
1 1€ 2€
2 2€ 4€
4 16€ 4€
8 8€ 256€
16 16€ 65.536€
40  40€ 1 billón de €

Lógicamente, a medida que aumentamos el número de tiradas posibles, el premio máximo crece exponencialmente, pero también lo hace el riesgo de volvernos con menos dinero del invertido, al tiempo que decrecen las posibilidades reales de llevarnos esas grandes cantidades.

Veamos por ejemplo el caso de las cuatro tiradas límite, en el que jugar cuesta 4 euros y se pueden ganar hasta 16. Para al menos recuperar nuestra inversión, necesitamos que en la primera tirada salga cara (50%), porque si sale cruz solo ganaremos 2 euros (y por lo tanto perderemos dos). Si en la siguiente vuelve a salir cara (25%) ya ganaremos más de cuatro euros en las próximas tiradas, (salvo si salen cuatro cruces consecutivas, que se acaba el juego y perdemos todo, un 6%), mientras que si sale cruz (25%), nos quedaremos como estábamos. Es decir, que más de la mitad de las veces perdemos dinero, y solo en el 19% de las veces ganamos, aunque podremos cuadruplicar nuestra apuesta.

Esta diferencia se va incrementando a medida que se puede lanzar más veces la moneda. Con ocho tiradas y 8 euros apostados, solo ganamos dinero el 12% de las veces, pero cuando lo hacemos las cantidades son mayores, hasta 256 euros (32 veces lo invertido) si bien eso solo ocurre 1 de cada 256 jugadas (menos del 0,5% de los casos). Ahí es cuando empieza intervenir la mencionada utilidad del dinero, la aversión al riesgo o incluso el temor de que la banca en realidad no podría asumir un premio tan grande, dada la escasa probabilidad de que ocurra.

Y vosotros, ¿cuánto dinero estaríais dispuestos a pagar por jugar a la paradoja de San Petersburgo?

En Naranja | Problemas matemáticos clásicos: Camarero ¿dónde está el euro que falta?

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