¿Cambiar nuestra respuesta o mantenerla? El dilema de Monty Hall

Let´s make a deal fue un programa televisivo muy famoso en Estados Unidos en los años setenta, en el cual los concursantes tenían llegar a un acuerdo con el presentador, Monty Hall, para poder acceder al premio.

Sin embargo, y después de casi 28 años de emisión, no fue el formato del programa lo que llevó a la fama al presentador y al programa, si no más bien todas las dudas que se generaron a raíz de uno de sus minijuegos más famosos, y que fue conocido como el dilema de Monty Hall.

¿Eliges cabra o automóvil?

La mecánica de este juego es muy sencilla. El concursante debe elegir entre tres puertas, en cada una de las cuales hay un premio diferente. En dos de ellas, el premio es una cabra, y en la otra, el premio es un automóvil. Lógicamente, el concursante no conoce de antemano cuál de las tres puertas contiene el coche.

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El concursante escoge, por ejemplo, la primera puerta. En ese momento, el presentador, que sí conoce de antemano lo que hay detrás de cada una de las puertas, abre una de las otras dos, digamos la número 3, que contiene una cabra. Entonces, el presentador pregunta al concursante ¿no prefieres escoger la puerta número dos? ¿Es mejor para ti cambiar la elección?

En ese momento la pregunta que se haría el concursante es: ¿Debo mantener mi elección o realizar el cambio, tal y como me propone el presentador? ¿Cuál es la puerta que contiene el automóvil? Podríamos pensar que la probabilidad de que el coche se encuentre en cualquiera de las otras dos puertas es la misma, pero en realidad no es así.

Entonces, ¿cuál es la solución al problema?

La respuesta correcta es que es mejor cambiar de puerta. ¿Por qué? La suposición de que la probabilidad de encontrar el coche en cualquiera de los otras dos puertas es del 50% es errónea debido a que el presentador abre la puerta después de la elección inicial del jugador; es decir, la elección inicial del jugador condiciona la elección del presentador.

Si el jugador abre la puerta que contiene el coche, con una probabilidad de 1/3, el presentador puede abrir cualquiera de las otras dos puertas. Sin embargo, si el jugador elige una de las puertas que contiene la cabra (con una probabilidad de 2/3), el presentador tendrá que escoger forzosamente la puerta que contiene la otra cabra, es decir, nuestra elección ha condicionado la acción del presentador.

Desde un punto de vista puramente estadístico, la opción que maximiza la probabilidad del jugador es cambiar de puerta para obtener el coche, ya que en la primera elección es más fácil que elija una de las cabras (66%), y por tanto tenga que modificar su decisión, a que elija el automóvil (33%) y mantenerse como está.

¿Puede aplicarse al entorno económico?

El problema de Monty Hall, al igual que el dilema del prisionero, es otro de los dilemas principales dentro de la teoría de juegos y, por tanto, tiene aplicación directa en de la economía. El símil es sencillo: al elegir una opción y aferrarnos a ella, estamos ignorando cualquier nueva información que aparezca.

En el caso del dilema de Monty Hall, el presentador abría la puerta justo después de que el participante realizase su elección y por tanto, le estaba facilitando más y mejor información. Y adaptarse a esta nueva información puede requerir un cambio con respecto a la decisión inicial.

En el mundo empresarial ocurre habitualmente que las empresas se adaptan a las decisiones de sus competidoras, debido a que cuentan con más información acerca de sus estrategias empresariales a largo plazo, pudiéndose anticipar a los cambios.

A modo de curiosidad, y para comprender la complejidad que este problema tenía en términos probabilísticos en los años setenta en Estados Unidos, la persona que sacó a la luz la resolución del problema fue Marilyn Von Savant, que es conocida por ser la persona con el coeficiente intelectual más grande del mundo (con un CI de 228).

Sin duda, un problema complejo que ni siquiera los mejores matemáticos de la época fueron capaces de descifrar. Quizá esa fuera una de las fórmulas del éxito de Monty Hall y su programa.

Imagen | marc falardeau, adam coster

Conversación

  • Josep Camós

    Yo había caído en lo del 50 %, lo reconozco. Pero es que pensar en el 33 % es tan… anti-intuitivo…

    • Diego Lorenzana

      Ni que lo digas 😛

  • quhasar

    Esto de la probabilidad es muy interesante, pero no me deja clara las opciones… No cuenta para nada que la primera elección sea totalmente aleatoria??

    Y si la puerta que elegí desde un principio es el automóvil? El presentador sólo puede elegir cabra o cabra. Si seguimos el razonamiento, nos lo está poniendo más fácil pero el objetivo final es no ganarse el coche y siempre es más doloroso perder en una segunda elección cuando la primera era acertada, al igual que es más exitoso aún ganar con la segunda elección porque eso significa que en la primera habíamos fallado.

    Supongo que todo es cuestión de como se razone, pero a fin de cuentas, lo que nos da la razón o no es el éxito o el fracaso. Y está claro que las probabilidades de fracaso con un 66’6% de probabilidades es más alto. Si ya depende del azar, no te digo… Abre una puerta y luego, ya se verá…

    Los problemas que no dependen de mí no los puedo solucionar y, por ello, no me como la cabeza en exceso.

  • EGPRC

    Para entenderlo mejor, imaginemos un juego similar:
    Hay tres tarjetas para escoger, y se sabe que sus contenidos respectivos son los siguientes:

    ————————————————————————————————-
    …………………………… TARJETA 1
    Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
    ……. Cabra …………………………………………. Carro
    ————————————————————————————————-
    …………………………… TARJETA 2
    Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
    ……. Carro ………………………………………….. Cabra
    ————————————————————————————————-
    …………………………… TARJETA 3
    Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
    ……. Cabra ………………………………………….. Carro
    ————————————————————————————————-

    Es más probable escoger una tarjeta que diga “Tu puerta tiene Cabra”, porque hay más de ese tipo.

    Una vez con la tarjeta en la mano, sin verla, uno podría apostar a que el carro está en la parte de “Tu puerta” o en “La otra”, pero eso no significa que las dos posibles elecciones tengan la misma probabilidad. El hecho de que estés apostando luego de tener la tarjeta en la mano no niega el hecho de que esa tarjeta tiene mayor probabilidad de decir “Tu puerta tiene Cabra”.

    Un error común es pensar que todas las posibles elecciones distribuyen su probabilidad equitativamente. Eso es porque nos enseñan la fórmula:

    Número de casos favorables / Número de casos posibles

    Pero ella sólo se puede aplicar si cada una de las cosas que consideramos como “caso” tiene el mismo peso probabilístico. Por ejemplo, suponemos que la probabilidad de cada posible resultado de un dado es 1/6, porque dicho dado debería estar construido simétricamente. Pero si lanzáramos un dado no balanceado, algún resultado tendería a repetirse más que otro, por lo que la probabilidad no sería 1/6 para cada uno.

    Al principio era más probable haber elegido la cabra. En todos los casos en que se elige cabra al principio, la puerta del presentador será la correcta. En cambio, sólo será incorrecta la del presentador en el caso en que aciertas el coche al principio.

    A la gente suele confudirle eso de: 2 opciones –> 50% para cada una. Hay que recordar que no se está haciendo una elección aleatoria entre las dos puertas. Si fuera de forma aleatoria, sí se ganaría el 50% de las veces, pero la diferencia es que aproximadamente la mitad de las veces se habría elegido la puerta original, y aproximadamente la mitad se habría elegido la otra puerta. No es eso de lo que se habla. Se dice que se tiene 1/3 de probabilidad de ganar nunca cambiando, y 2/3 de probabilidad cambiando. ¿Se ve la diferencia entre hacer una selección aleatoria entre dos puertas y tener preferencia por alguna de ellas?

    Llevándolo a un caso extremo, supongamos que se abren las dos puertas restantes, revelando así el contenido de ellas, y te dan a elegir entre esas dos. Ahí las probabilidades no son 1/2 para cada una. Somos capaces de ver cuál tiene el carro y cuál no, por lo que podemos decir que sus probabilidades son 1 contra 0, a pesar de que son dos opciones. En el problema de Monty Hall, somos capaces de distinguir una puerta que será correcta mayor cantidad de veces que otra. No es una certeza como en el caso extremo, pero entre certeza y desconcierto total hay puntos medios.